Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування

  1. Витоки симплексного методу і його суть
  2. Алгоритм симплекс-методу
  3. Практичний приклад застосування симплексного методу

Важко переоцінити важливість завдань лінійного програмування для сучасної економіки і промисловості. Однак графічний метод, хоча і володіє простотою, не може використовуватися в прикладних цілях через його обмеженість. Тому популярним став симплексний метод , Що дозволяє вирішувати завдання будь-якої складності і розмірності.

Найкраще спасибі - порекомендувати цю сторінку

Витоки симплексного методу і його суть

Важко переоцінити важливість завдань лінійного програмування для сучасної економіки і промисловості

Симплекс-метод розв'язання задач лінійного програмування був розроблений американським математиком Джорджем Данцигом. Також великий вклад в його розвиток внесли вчені Кун і Таккер, більш відомі своїми розробками в області нелінійного програмування.

Суть симплексного методу полягає в наступному: необхідно максимізувати (відповідно мінімізувати) певний критерій при накладених лінійних обмеженнях. Цим критерієм може виступати валовий дохід від реалізації продукції, сукупні операційні витрати на виробництво товарів і так далі.

При цьому на змінні, що впливають на значення критерію, накладаються лінійні обмеження у вигляді рівнянь або нерівностей. По суті, симплекс-метод - це вдосконалений графічний методрешенія завдань ЛП в багатовимірному просторі.

Подібно до того, як графічний метод шукає оптимум в вершинах багатокутника, в симплексному методі оптимум шукається в вершинах n-мірного багатогранника, званого симплексом (див. На малюнку умовне зображення симплекса; червоним показаний шлях з опорної точки до точки оптимуму).

Алгоритм симплекс-методу

Послідовність дій можна описати таким чином:

  • шляхом перетворень система обмежень наводиться до необхідної, так званої базисної, формі;
  • знаходиться так зване опорне рішення, що служить «точкою відліку»;
  • послідовно перебираються вершини симплекса. Якщо в даній точці значення критерію більше (або менше) попереднього, то процес триває. Коли значення критерію вже не можна поліпшити, значить, рішення знайдено.

Тобто, сенс симплексного методу наступний: все лінійні нерівності, яким в багатовимірному просторі відповідають півплощині, обмежують якийсь симплекс. При цьому рівняння, що описує оптимізується критерій, відповідає гіперплоскость. Тепер потрібно просто знайти ту вершину симплекса, одночасно належить цій гиперплоскости, координати якої максимізують (мінімізують) критерій. Отже, вибирається базова вершина і по ній ми пересуваємося від однієї вершини до іншої, поки не знайдемо точку оптимуму.

Практичний приклад застосування симплексного методу

Вирішимо симплексним методом задачу. Максимізували функцію $$ L = X + Z \ rightarrow \ max $$ при обмеженнях $$ \ left \ {\ begin {array} {l} Y-X + Z = 1, \\ X-2Z + T = 2. \ End {array} \ right. $$ У нас є чотири змінні - $ X, Y, Z, T $ - причому критерій залежить лише від двох змінних. Приймемо $ Т $ і $ Y $ за базисні змінні і висловимо їх через інші дві вільні змінні. отримаємо:

$$ L = X + Z \ rightarrow \ max, $$ $$ \ left \ {\ begin {array} {l} Y = 1 + XZ, \\ T = 2-X + 2Z. \ End {array} \ right. $$

При $ X $ і $ Z $ рівних нулю, базисні змінні рівні $ Y = 1, T = 2 $. Значення критерію $ L = 0 $. Значить, точка $ (1,0,0,2) $ є базисним рішенням. Почнемо перебір вершин симплекса. Збільшити критерій можна збільшивши $ Z $ до одиниці. Тоді при $ Z = 1, X = 0 $ базисні змінні приймуть значення $ Y = 0, T = 4 $. Нове допустиме рішення - це точка $ (0,0,1,4) $, критерій дорівнює $ L = 1 $.

Тепер висловимо $ Z $ і $ T $ через $ Y $ і $ X $:

$$ L = 1-Y + 2X \ rightarrow \ max, $$ $$ \ left \ {\ begin {array} {l} Z = 1-Y + Z, \\ T = 4-2Y + X. \ End {array} \ right. $$

Збільшити $ L $ можна тільки збільшивши $ X $. Однак $ X $ можна збільшувати нескінченно, вихідним із системи рівнянь. Отже, критерій $ L $ братиме необмежено великі значення, рішення задачі симплекс-методом не існує. У цьому випадку говорять, що має випадок нескінченного симплекса.

Інші приклади розв'язання задач лінійного програмування ви знайдете в розділі: Завдання лінійного програмування з рішеннями (Десятки прикладів!).

Корисна сторінка? Збережи або розкажи друзям

додатково:


Симплексний метод на замовлення. Тільки на відмінно.

Корисна сторінка?

Новости

Как ухаживать за лицом после 30 лет: список запретов


Как ухаживать за собой


Как заставить себя начать ухаживать за собой?
Каждый вкладывает свой смысл в понятие " ухаживать за собой ". Вот мне исполнилось 30 лет и я расширяю это понятие. Я также как и Вы не особо люблю уход: не люблю краситься (честно, и не люблю) - моя

Вера Брежнева о своих секретах красоты
Талантливая певица, русская Брижит Бардо и самая стильная и сексуальная женщина России, безусловно, одна из ярчайших звезд современной русской эстрады – красавица Вера Брежнева в свои 34 года потрясающе

Лучшие советы по уходу за собой для девушек
Как всегда оставаться красивой даже в самых сложных ситуациях и тратить гораздо меньше времени и сил на уход за собой, но при этом всегда оставаться привлекательной? Если вы хотите знать ответы на эти

15 лучших средств по уходу за собой
Как почувствовать себя королевой, если с утра приходится тщательно маскировать прыщи, а к вечеру невозможно от усталости стоять на ногах? Попробуйте бороться с проблемами «домашними» средствами. Если

Как ухаживать за собой во время беременности
Как остаться красивой, не навредив при этом малышу. Уход за телом Сейчас самое время сделать ставку на увлажнение кожи. При этом помните, что ваш организм стал более восприимчивым

Натуральный уход за собой: красота и здоровье
Привет, дорогие читательницы! В последнее время моя жизнь наполнена совершенно волшебными знакомствами — вдохновляющими, помогающими открыть в себе что-то новое, чему-то научиться. Сегодня расскажу

Бюджетные аптечные средства по уходу за лицом. - Семейный портал Family-and-i: Все о семье, детях и не только.
Ухаживая за своим лицом и при этом, используя недорогие бюджетные аптечные средства, можно достигнуть очень заметного положительного результата. В этой статье мы подробно расскажем, что это за средства

Как правильно ухаживать за собой
Большое количество женщин категорически отказывается ухаживать за собой, объясняя это недостатком средств и времени. Такие дамы жалуются на отсутствие личной жизни и внимания со стороны мужчин. А между

  • Оформление торжеств
    21.11.2014
    Оформление торжеств

    Оформление мероприятий цветами и декорация тканью: свадьбы, юбилеи, торжества, корпоративные вечеринки, выставки, конференции, семинары, презентации.Правильная организация праздников и планировка работы для Вас и Ваших сотрудников — это залог успешного развития бизнеса. Мы предоставим полный комплекс услуг по оформлению специальных мероприятий любого масштаба. Опыт наших проектов по-своему индивидуален. Мы готовы предложить именно... 
    Читать полностью

Статьи о цветах
  • Свадебные букеты
    Свадебные букеты

    Безумное счастье воссоединения в браке, прекрасная церемония, счастливые лица гостей… Несомненно, свадьба... 
    Читать полностью

  • Роль и значение цветов в нашей жизни
    Роль и значение цветов в нашей жизни

    Еще с давних времен цветы в жизни людей играли огромную роль. Они всегда ассоциировались с любовью, радостью, хорошим... 
    Читать полностью

  • История цветов
    История цветов

    Искусство украшать живыми цветами, листьями, ветками, плодами и другим декоративным материалом праздничные процессии,... 
    Читать полностью

  • Цветочные традиции в Европе
    Цветочные традиции в Европе

    В Западной Европе в XIV в. распространилась мода на ароматы, а вместе с ней и на небольшие букетики из пахнущих цветов.... 
    Читать полностью

  • Цветы для свадьбы
    Цветы для свадьбы

    В нашей жизни ни одно торжественное событие не обходится без цветов. Букет из белых роз тонко подчеркнет красоту... 
    Читать полностью

  • Цветочный этикет
    Цветочный этикет

    В нашей жизни ни одно торжественное событие не обходится без цветов. При этом очень важно соблюдать цветочный... 
    Читать полностью